Вероятность и статистика

Пояснительная записка
Рабочая программа по учебному курсу «Вероятность и статистика» для
обучающихся с задержкой психического развития (далее – ЗПР) на уровне
основного общего образования составлена на основе Федерального
государственного образовательного стандарта основного общего образования
(Приказ Министерства просвещения Российской Федерации от 31.05.2021 г. №
287, зарегистрирован Министерством юстиции Российской Федерации 05.07.2021
г., рег. номер – 64101) (далее – ФГОС ООО), Федеральной адаптированной
образовательной программы основного общего образования для обучающихся с
ограниченными возможностями здоровья (утверждена приказом Министерства
просвещения Российской Федерации от 24 ноября 2022 г. № 1025),
адаптированной основной общеобразовательной программы основного общего
образования обучающихся с задержкой психического развития ГБОУ СО
«Серовская школа № 2», примерной рабочей программы основного общего
образования «Вероятность и статистика» (одобрена решением федерального
учебно-методического объединения по общему образованию (протокол от 15
сентября 2022 г. № 6/22).

Цели изучения учебного курса
В современном цифровом мире вероятность и статистика приобретают всё
большую значимость, как с точки зрения практических приложений, так и их роли
в образовании. Каждый человек постоянно принимает решения на основе
имеющихся у него данных. А для обоснованного принятия решения в условиях
недостатка или избытка информации необходимо в том числе хорошо
сформированное вероятностное и статистическое мышление. Именно поэтому
остро встала необходимость сформировать у обучающихся, в том числе
обучающихся с ЗПР, функциональную грамотность, включающую в себя в
качестве неотъемлемой составляющей умение воспринимать и критически
анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать
вероятностный характер многих реальных процессов и зависимостей,
производить простейшие вероятностные расчёты. Знакомство с основными
принципами сбора, анализа и представления данных из различных сфер жизни
общества и государства приобщает обучающихся к общественным интересам.
В структуре программы учебного курса «Вероятность и статистика»
основной школы выделены следующие содержательно-методические линии:
«Представление данных и описательная статистика»; «Вероятность»; «Элементы
комбинаторики»; «Введение в теорию графов».
Содержание линии «Представление данных и описательная статистика»
служит основой для формирования навыков работы с информацией: от чтения и
2

интерпретации информации, представленной в таблицах, на диаграммах и
графиках до сбора, представления и анализа данных с использованием
статистических характеристик средних и рассеивания. Работая с данными,
обучающиеся с ЗПР учатся считывать и интерпретировать данные, выдвигать,
аргументировать и критиковать простейшие гипотезы, размышлять над
факторами, вызывающими изменчивость, и оценивать их влияние на
рассматриваемые величины и процессы.
Интуитивное представление о случайной изменчивости, исследование
закономерностей и тенденций становится мотивирующей основой для изучения
теории вероятностей. Большое значение для обучающихся с ЗПР здесь имеют
практические задания, в частности опыты с классическими вероятностными
моделями.
Понятие вероятности вводится как мера правдоподобия случайного
события. При изучении курса обучающиеся с ЗПР знакомятся с простейшими
методами вычисления вероятностей в случайных экспериментах с
равновозможными элементарными исходами, вероятностными законами,
позволяющими ставить и решать более сложные задачи. В курс входят начальные
представления о случайных величинах и их числовых характеристиках.
Также в рамках этого курса осуществляется знакомство обучающихся с ЗПР
с множествами и основными операциями над множествами, рассматриваются
примеры применения для решения задач, а также использования в других
математических курсах и учебных предметах.
Место учебного курса в учебном плане
В 7–9 классах изучается курс «Вероятность и статистика», в который входят
разделы: «Представление данных и описательная статистика»; «Вероятность»;
«Элементы комбинаторики»; «Введение в теорию графов».
На изучение данного курса отводит 1 учебный час в неделю в течение
каждого года обучения, всего 102 учебных часа.

Содержание учебного курса (по годам обучения)
7 КЛАСС
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Заполнение
таблиц, чтение и построение диаграмм (столбиковых (столбчатых) и круговых).
Чтение графиков реальных процессов. Извлечение информации из диаграмм и
таблиц, использование и интерпретация данных.
Описательная статистика: среднее арифметическое, медиана, размах,
наибольшее и наименьшее значения набора числовых данных. Примеры
случайной изменчивости.
3

Случайный эксперимент (опыт) и случайное событие. Вероятность и
частота. Роль маловероятных и практически достоверных событий в природе и
в обществе. Монета и игральная кость в теории вероятностей1.
Граф, вершина, ребро. Степень вершины. Число рёбер и суммарная степень
вершин. Представление о связности графа. Цепи и циклы. Пути в графах. Обход
графа (эйлеров путь). Представление об ориентированном графе. Решение задач
с помощью графов.
8 КЛАСС
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков.
Множество, элемент множества, подмножество. Операции над
множествами: объединение, пересечение, дополнение. Свойства операций над
множествами: переместительное, сочетательное, распределительное, включения.
Использование графического представления множеств для описания реальных
процессов и явлений, при решении задач.
Измерение рассеивания данных. Дисперсия и стандартное отклонение числовых
наборов. Диаграмма рассеивания.
Элементарные события случайного опыта. Случайные события.
Вероятности событий. Опыты с равновозможными элементарными событиями.
Случайный выбор. Связь между маловероятными и практически достоверными
событиями в природе, обществе и науке.
Дерево. Свойства деревьев: единственность пути, существование висячей
вершины, связь между числом вершин и числом рёбер. Правило умножения.
Решение задач с помощью графов.
Противоположные события. Диаграмма Эйлера. Объединение и
пересечение событий. Несовместные события. Формула сложения
вероятностей. Условная вероятность. Правило умножения. Независимые
события. Представление эксперимента в виде дерева. Решение задач на
нахождение вероятностей с помощью дерева случайного эксперимента,
диаграмм Эйлера.
9 КЛАСС
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков, интерпретация
данных. Чтение и построение таблиц, диаграмм, графиков по реальным данным.
Перестановки и факториал. Сочетания и число сочетаний. Треугольник
Паскаля. Решение задач с использованием комбинаторики.
Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из фигуры на
плоскости, из отрезка и из дуги окружности.
1

Здесь и далее курсивом обозначены темы, изучение которых проводится в ознакомительном плане. Педагог
самостоятельно определяет объем изучаемого материала.

Испытание. Успех и неудача. Серия испытаний до первого успеха. Серия
испытаний Бернулли. Вероятности событий в серии испытаний Бернулли.
Случайная величина и распределение вероятностей. Математическое
ожидание и дисперсия. Примеры математического ожидания как теоретического
среднего значения величины. Математическое ожидание и дисперсия случайной
величины «число успехов в серии испытаний Бернулли».
Понятие о законе больших чисел. Измерение вероятностей с помощью
частот. Роль и значение закона больших чисел в природе и обществе.
Контрольно-измерительные

материалы

Проведение оценки достижений планируемых результатов освоения
учебного предмета проводится в форме текущего и рубежного контроля в виде:
контрольные работы, самостоятельные работы, зачеты, математические
диктанты, практические работы, письменный ответ по индивидуальным
карточкам-заданиям, тестирование.
Для обучающихся с ЗПР возможно изменение формулировки заданий на
«пошаговую», адаптацию предлагаемого обучающемуся тестового (контрольнооценочного) материала: использование устных и письменных инструкций,
упрощение длинных сложных формулировок инструкций, решение с опорой на
алгоритм, образец, использование справочной информации.
Вероятность и статистика
7 класс
Контрольная работа №1. Тема. Представление данных. Описательная
статистика.
Контрольная работа № 2. Тема. Случайная изменчивость. Вероятность и
частота случайного события.
8 класс
Контрольная работа № 1. Тема. Множества.
Контрольная работа№2. Тема. Вероятность случайного события.
Контрольная работа № 3. Тема. Случайные события.
9 класс
Контрольная работа № 1. Тема. Элементы комбинаторики. Геометрическая
вероятность.
Контрольная работа № 2. Тема. Испытания.
Контрольная работа № 3. Тема. Случайная величина.
ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ
РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ КУРСА «ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА» (ПО
ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
5

Предметные результаты освоения курса «Вероятность и статистика» в 7–9
классах характеризуются следующими умениями.
7 КЛАСС
Читать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах;
представлять данные в виде таблиц, строить диаграммы (столбиковые
(столбчатые) и круговые) по массивам значений (с использованием зрительной
наглядности и/или вербальной опоры).
Описывать
и
интерпретировать
реальные
числовые
данные,
представленные в таблицах, на диаграммах, графиках.
Ориентироваться в понятиях и оперировать ими на базовом уровне:
среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах.
Иметь представление о случайной изменчивости на примерах цен,
физических величин, антропометрических данных; иметь представление о
статистической устойчивости.
8 КЛАСС
Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в виде таблиц,
диаграмм, графиков; представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков.
Описывать после совместного анализа данные с помощью статистических
показателей: средних значений и мер рассеивания (размах, дисперсия и
стандартное отклонение).
Находить частоты числовых значений и частоты событий, в том числе по
результатам измерений и наблюдений (с использованием зрительной наглядности
и/или вербальной опоры).
Находить вероятности случайных событий в опытах, зная вероятности
элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными
событиями (с использованием зрительной наглядности и/или вербальной опоры).
Иметь представление о графических моделях: дерево случайного
эксперимента, диаграммы Эйлера, числовая прямая.
Оперировать понятиями на базовом уровне: множество, подмножество;
выполнять операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение;
перечислять элементы множеств; применять свойства множеств (с
использованием визуальной опоры).
Иметь представление о графическом представление множеств и связей
между ними для описания процессов и явлений, в том числе при решении задач
из других учебных предметов и курсов.

9 КЛАСС
Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в различных
источниках в виде таблиц, диаграмм, графиков; представлять данные в виде
таблиц, диаграмм, графиков.
Решать простейшие задачи организованным перебором вариантов, а также
с использованием комбинаторных правил и методов.
Иметь представление об описательных характеристиках для массивов
числовых данных, в том числе средние значения и меры рассеивания.
Находить частоты значений и частоты события, в том числе пользуясь
результатами проведённых измерений и наблюдений (с опорой на справочную
информацию).
Находить вероятности случайных событий в изученных опытах, в том числе
в опытах с равновозможными элементарными событиями, в сериях испытаний до
первого успеха, в сериях испытаний Бернулли.
Иметь представление о случайной величине и о распределении
вероятностей.
Иметь представление о законе больших чисел как о проявлении
закономерности в случайной изменчивости и о роли закона больших чисел в
природе и обществе.
КРИТЕРИИ И НОРМЫ ОЦЕНКИ ПРЕДМЕТНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
ОБУЧАЮЩИХСЯ С ЗПР ПО «ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА»
Выставляемые оценки обучающимся с ОВЗ не могут быть приравнены к
оценкам обучающихся общеобразовательных школ, а являются лишь показателем
успешности продвижения школьников по отношению к самим себе. Оценка также
играет роль стимулирующего фактора, поэтому допустимо работу некоторых
учеников оценивать более высоким баллом.
ОЦЕНКА УСТНЫХ ОТВЕТОВ УЧАЩИХСЯ
Ответ оценивается отметкой «5», если ученик:
 полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном
программой и учебником, изложил материал грамотным языком в
определенной
логической
последовательности,
точно
используя
математическую терминологию и символику;
 правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;
 показал умение иллюстрировать теоретические положения конкретными
примерами, применять их в новой ситуации при выполнении практического
задания;
 продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов,
сформированность и устойчивость используемых при отработке умений и
навыков;
 отвечал самостоятельно без наводящих вопросов учителя. Возможны одна две неточности при освещении второстепенных вопросов или в выкладках,
которые ученик легко исправил по замечанию учителя.
7

Ответ оценивается отметкой «4», если
 он удовлетворяет в основном требованиям на оценку «5», но при этом
имеет один из недостатков:
 в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие содержание
ответа;
 допущены один – два недочета при освещении основного содержания ответа,
исправленные по замечанию учителя;
 допущены ошибка или более двух недочетов при освещении второстепенных
вопросов или в выкладках, легко исправленные по замечанию учителя.
Отметка «3» ставится в следующих случаях:
 неполно или непоследовательно раскрыто содержание материала, но
показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения,
достаточные для дальнейшего усвоения программного материала
(определенные «Требованиями к математической подготовке учащихся»);
 имелись затруднения или допущены ошибки в определении понятий,
использовании математической терминологии, чертежах, выкладках,
исправленные после нескольких наводящих вопросов учителя;
 ученик не справился с применением теории в новой ситуации при
выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного
уровня сложности по данной теме;
 при знании теоретического материала выявлена недостаточная
сформированность основных умений и навыков.
Отметка «2» ставится в следующих случаях:
 не раскрыто основное содержание учебного материала;
 обнаружено незнание или непонимание учеником большей или наиболее
важной части учебного материала;
 допущены ошибки в определении понятий, при использовании
терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не
исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.
ОЦЕНКА ПИСЬМЕННЫХ РАБОТ
Отметка «5» ставится, если:
 работа выполнена полностью;
 в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
 в решении нет ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся
следствием незнания или непонимания учебного материала).
Отметка «4» ставится, если:
 работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны
(если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом
проверки);
 допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках,
чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным
объектом проверки).
Отметка «3» ставится, если:

 допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках,
чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по
проверяемой теме.
Отметка «2» ставится, если: допущены существенные ошибки, показавшие, что
учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.
Грубыми считаются ошибки:
- незнание определения основных понятий, законов, правил, основных положений
теории, незнание формул, общепринятых символов обозначений величин, единиц
их измерения;
- незнание наименований единиц измерения;
- неумение выделить в ответе главное;
- неумение применять знания, алгоритмы для решения задач;
- неумение делать выводы и обобщения;
- неумение читать и строить графики;
- неумение пользоваться первоисточниками, учебником и справочниками;
- потеря корня или сохранение постороннего корня;
- отбрасывание без объяснений одного из них;
- равнозначные им ошибки;
- вычислительные ошибки, если они не являются опиской;
- логические ошибки.
К негрубым ошибкам следует отнести:
- неточность формулировок, определений, понятий, теорий, вызванная
неполнотой охвата основных признаков определяемого понятия или заменой
одного - двух из этих признаков второстепенными;
- неточность графика;
- нерациональный метод решения задачи или недостаточно продуманный план
ответа (нарушение логики, подмена отдельных основных вопросов
второстепенными);
- нерациональные методы работы со справочной и другой литературой;
- неумение решать задачи, выполнять задания в общем виде.
Недочетами являются:
- К недочетам относятся погрешности, свидетельствующие о недостаточно
полном или недостаточно прочном усвоении основных знаний и умений или об
отсутствии знаний, не считающихся в программе основными.
- Недочетами также считаются: погрешности, которые не привели к искажению
смысла полученного обучающимися знания или способа его выполнения; неаккуратная запись; небрежное выполнение записей, чертежей, схем, графиков;
нерациональные приемы вычислений и преобразований.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА «ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА» (ПО
ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
7 класс (не менее 34 ч)
Название
раздела (темы)
(число часов)
Представление
данных
(7 ч)

Основное содержание

Характеристика деятельности обучающихся

Представление данных в таблицах. Практические
вычисления по табличным данным. Извлечение и
интерпретация табличных данных. Практическая работа
«Таблицы».
Графическое представление данных в виде круговых,
столбиковых (столбчатых) диаграмм. Чтение и построение
диаграмм. Примеры демографических диаграмм.
Практическая работа «Диаграммы».

Осваивать
на
базовом
уровне
способы
представления статистических данных и числовых
массивов с помощью таблиц и диаграмм с
использованием актуальных и важных данных
(демографические
данные,
производство
промышленной и сельскохозяйственной продукции,
общественные и природные явления).
Изучать методы работы с табличными и
графическими представлениями данных с помощью
цифровых ресурсов в ходе практических работ (с
направляющей помощью).

Описательная
статистика
(8 ч)

Числовые наборы. Среднее арифметическое.
Медиана числового набора. Устойчивость медианы.
Практическая работа «Средние значения».
Наибольшее и наименьшее значения числового набора.
Размах.

Случайная
изменчивость
(6 ч)

Случайная изменчивость (примеры). Частота значений в
массиве данных. Группировка. Гистограммы.
Практическая работа «Случайная изменчивость».

Введение в
теорию графов
(4 ч)

Граф, вершина, ребро. Представление задачи с помощью
графа. Степень (валентность) вершины. Число рёбер и
суммарная степень вершин. Цепь и цикл. Путь в графе.
Представление о связности графа. Обход графа (эйлеров
путь). Представление об ориентированных графах.

Осваивать на базовом уровне понятия: числовой
набор, мера центральной тенденции (мера центра), в том
числе среднее арифметическое, медиана.
Описывать статистические данные с помощью
среднего арифметического и медианы. Решать задачи (с
использованием
зрительной
наглядности
и/или
вербальной опоры)
Изучать свойства средних, в том числе с помощью
цифровых ресурсов, в ходе практических работ, (с
направляющей помощью).
Осваивать на базовом уровне понятия: наибольшее и
наименьшее значения числового массива, размах.
Решать задачи на выбор способа описания данных в
соответствии с природой данных и целями исследования
с направляющей помощью.
Осваивать понятия: частота значений в массиве
данных, группировка данных, гистограмма.
Строить гистограммы по образцу
Осваивать графические представления разных видов
случайной изменчивости, в том числе с помощью
цифровых ресурсов, в ходе практической работы.
Осваивать понятия: граф, вершина графа, ребро
графа, степень (валентность вершины), цепь и цикл.
Осваивать понятия: путь в графе, эйлеров путь,
обход графа, ориентированный граф.
Обсуждать решение задачи на поиск суммы степеней
вершин графа, на поиск обхода графа, на поиск путей в
ориентированных графах с направляющей помощью.
Осваивать способы представления задач из курса
алгебры, геометрии, теории вероятностей, других

предметов с помощью графов (карты, схемы,
электрические цепи, функциональные соответствия)
на примерах.
Вероятность и
частота
случайного
события
(4 ч)

Обобщение,
контроль
(5 ч)

Случайный опыт и случайное событие. Вероятность и
частота события. Роль маловероятных и практически
достоверных событий в природе и в обществе. Монета и
игральная кость в теории вероятностей.
Практическая работа «Частота выпадения орла».

Представление
данных.
Описательная
Вероятность случайного события.

Осваивать понятия: случайный опыт и случайное
событие, маловероятное и практически достоверное
событие.
Изучать значимость маловероятных событий в
природе и обществе на важных примерах (аварии,
несчастные
случаи,
защита
персональной
информации, передача данных).
Изучать роль классических вероятностных моделей
(монета, игральная кость) в теории вероятностей.
Наблюдать и изучать частоту событий в простых
экспериментах, в том числе с помощью цифровых
ресурсов, в ходе практической работы.

статистика. Повторять
изученное и выстраивать систему
знаний.
Решать задачи на представление и описание данных с
помощью изученных характеристик с направляющей
помощью.
Обсуждать
примеры
случайных
событий,
маловероятных и практически достоверных случайных
событий, их роли в природе и жизни человека

8 класс (не менее 34 ч)
Название
раздела (темы)

Основное содержание

Характеристика деятельности обучающихся

Повторение
курса 7 класса
(4 ч)

Представление данных. Описательная статистика.
Случайная изменчивость. Средние числового набора.
Случайные
события.
Вероятности
и
частоты.
Классические модели теории вероятностей: монета и
игральная кость.

Описательная
статистика.
Рассеивание
данных
(4 ч)

Отклонения. Дисперсия числового набора. Стандартное
отклонение числового набора. Диаграммы рассеивания.

Повторять изученное
и
выстраивать
систему знаний.
Решать задачи (по визуальной опоре) на
представление и описание данных с помощью
изученных характеристик.
Решать задачи (по визуальной опоре) на
представление группированных данных и описание
случайной изменчивости.
Решать задачи (по визуальной опоре) на
определение частоты случайных событий, обсуждение
примеров случайных событий, маловероятных и
практически достоверных случайных событий, их роли
в природе и жизни человека.
Осваивать понятия: дисперсия и стандартное
отклонение, использовать эти характеристики для
описания рассеивания данных.
Участвовать
в
обсуждении
гипотезы
об
отсутствии или наличии связи по диаграммам
рассеивания.
Строить диаграммы рассеивания по имеющимся
данным, в том числе с помощью компьютера (после
совместного анализа).

(число часов)

Множества
(4 ч)

Множество, подмножество. Операции над множествами:
объединение,
пересечение,
дополнение.
Свойства
операций
над
множествами:
переместительное,
сочетательное, распределительное, включения.
Графическое представление множеств.

Осваивать понятия: множество, элемент множества,
подмножество.
Выполнять
операции
над
множествами:
объединение, пересечение, дополнение (по образцу).
Использовать
свойства:
переместительное,
сочетательное, распределительное,
включения
(с использованием визуальной опоры).
Использовать графическое представление множеств
при описании реальных процессов и явлений, при
решении задач из других учебных предметов и курсов
(с использованием визуальной опоры).

Вероятность

Элементарные

события.

Случайные

события.

случайного

Благоприятствующие элементарные события. Вероятности

элементарное

событие,

события

событий. Опыты с равновозможными элементарными

совокупность

благоприятствующих

(6 ч)

событиями. Случайный выбор.

событий, равновозможные элементарные события.

Практическая работа «Опыты с равновозможными

Решать задачи на вычисление вероятностей событий

Осваивать

на

базовом

уровне

случайное

понятия:

событие

как

элементарных

Введение
в
теорию графов
(4 ч)

элементарными событиями».

по вероятностям элементарных событий случайного
опыта (с использованием зрительной наглядности
и/или вербальной опоры).
Решать задачи на вычисление вероятностей событий
в опытах с равновозможными элементарными
событиями, в том числе с помощью компьютера (с
использованием зрительной наглядности и/или
вербальной опоры).
Проводить и изучать опыты с равновозможными
элементарными событиями (с использованием монет,
игральных костей,
других
моделей) в
ходе практической работы (с использованием
визуальной опоры).

Дерево. Свойства дерева: единственность пути,
существование висячей вершины, связь между числом
вершин и числом рёбер. Правило умножения.

Осваивать понятия: дерево как граф без цикла,
висячая вершина (лист), ветвь дерева, путь в дереве,
диаметр дерева.
Изучать свойства дерева: существование висячей
вершины, единственность пути между двумя
вершинами, связь между числом вершин и числом
рёбер.
Участвовать в обсуждении решения задачи на поиск
и перечисление путей в дереве, определение числа
вершин или рёбер в дереве, обход бинарного дерева, в

том числе с применением правила умножения.
Случайные

Противоположное

событие.

Диаграмма

Эйлера.

Осваивать понятия: взаимно противоположные

события
(8 ч)

Объединение и пересечение событий. Несовместные
события. Формула сложения вероятностей. Правило
умножения вероятностей. Условная вероятность.
Независимые события. Представление случайного
эксперимента в виде дерева.

события, операции над событиями, объединение и
пересечение событий, диаграмма Эйлера (Эйлера—
Венна), совместные и несовместные события.
Изучать теоремы о вероятности объединения двух
событий (формулы сложения вероятностей).
Участвовать в обсуждении решения задачи, в том
числе текстовые задачи на определение вероятностей
объединения и пересечения событий с помощью
числовой прямой, диаграмм Эйлера, формулы
сложения вероятностей.
Осваивать
понятия:
правило
умножения
вероятностей, условная вероятность, независимые
события дерево случайного опыта.
Изучать
свойства
(определения)
независимых событий.
Участвовать в обсуждении решения задачи на
определение и использование независимых событий.
Участвовать в обсуждении решения задачи на
поиск вероятностей, в том числе условных, с
использованием дерева случайного опыта.

Обобщение,
контроль

Представление данных. Описательная статистика. Графы.
Вероятность
случайного
события.
Элементы

Повторять
знаний.

изученное и

выстраивать

систему

(4 ч)

комбинаторики.

Решать задачи на представление и описание данных с
помощью изученных характеристик
(с
использованием визуальной опоры).
Участвовать в обсуждении решения задачи с
применением графов.
Решать задачи на нахождение вероятности случайного
события по вероятностям элементарных
событий, в том числе в опытах с равновозможными
элементарными событиями (с визуальной опорой).
Участвовать в обсуждении решения задачи на
нахождение вероятностей объединения и пересечения
событий, в том числе независимых, с использованием
графических представлений и дерева случайного
опыта.
Участвовать в обсуждении решения задачи на
перечисление комбинаций (числа перестановок, числа
сочетаний), на нахождение вероятностей событий с
применением комбинаторики, в том числе с
использованием треугольника Паскаля.

9 класс (не менее 34 ч)
Название
раздела (темы)
(число часов)
Повторение
курса 8 класса
(4 ч)

Основное содержание

Характеристика деятельности обучающихся

Представление
данных.
Описательная
статистика.
Операции над событиями. Независимость событий.

Повторять изученное и выстраивать
систему
знаний.
Решать задачи на представление и описание данных.
Решать задачи на нахождение вероятностей
объединения и пересечения событий, в том числе
независимых,
с
использованием
графических
представлений и дерева случайного опыта.
Решать задачи на перечисление комбинаций (числа
перестановок, числа сочетаний), на нахождение
вероятностей событий с применением комбинаторики,
в том числе с использованием треугольника Паскаля

Элементы
комбинаторики
(4 ч)

Комбинаторное правило умножения. Перестановки.
Факториал. Сочетания и число сочетаний. Треугольник
Паскаля. Практическая работа «Вычисление вероятностей
с использованием комбинаторных функций электронных
таблиц».

Геометрическая
вероятность
(4 ч)

Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из
фигуры на плоскости, из отрезка, из дуги окружности.

Испытания
Бернулли
(6 ч)

Испытание. Успех и неудача. Серия испытаний до первого
успеха. Испытания Бернулли. Вероятности событий в
серии испытаний Бернулли. Практическая работа
«Испытания Бернулли».

Осваивать
на
базовом
уровне
понятия:
комбинаторное правило умножения, упорядоченная
пара, тройка объектов, перестановка, факториал числа,
сочетание, число сочетаний, треугольник Паскаля.
Решать простейшие задачи на перечисление
упорядоченных пар, троек, перечисление перестановок
и сочетаний элементов различных множеств (по
образцу).
Решать простейшие задачи на применение числа
сочетаний в алгебре (сокращённое умножение, бином
Ньютона) (с направляющей помощью).
Решать, применяя комбинаторику, задачи на
вычисление вероятностей, в том числе с помощью
электронных таблиц в ходе практической работы (с
визуальной опорой).
Осваивать понятие геометрической вероятности.
Участвовать в обсуждении решения задачи на
нахождение вероятностей в опытах, представимых
как выбор точек из многоугольника, круга, отрезка
или дуги окружности, числового промежутка
Осваивать на базовом уровне понятия: испытание,
элементарное событие в испытании (успех и неудача),
серия испытаний, наступление первого успеха
(неудачи), серия испытаний Бернулли.
Решать простейшие задачи на нахождение
вероятностей событий в серии испытаний до первого
успеха, в том числе с применением формулы суммы
геометрической прогрессии (с опорой на справочную
информацию).
Решать простейшие задачи на нахождение

Случайная
величина
(6 ч)

Случайная величина и распределение вероятностей.
Математическое ожидание и дисперсия случайной
величины. Примеры математического ожидания как
теоретического среднего значения величины.
Понятие о законе больших чисел. Измерение вероятностей

вероятностей элементарных событий в серии
испытаний Бернулли, на нахождение вероятности
определённого числа успехов в серии испытаний
Бернулли (с визуальной опорой).
Изучать в ходе практической работы, в том числе с
помощью цифровых ресурсов, свойства вероятности в
серии испытаний Бернулли
Освоить на базовом уровне понятия: случайная
величина,
значение
случайной
величины,
распределение вероятностей.
Изучать и
обсуждать примеры дискретных и
непрерывных случайных величин (рост, вес человека,

с помощью частот. Применение закона больших чисел.

численность населения, другие изменчивые величины,
рассматривавшиеся в курсе статистики), модельных
случайных величин, связанных со случайными
опытами (бросание монеты, игральной кости, со
случайным выбором и т. п.).
Осваивать
на
базовом
уровне
понятия:
математическое ожидание случайной величины как
теоретическое среднее значение, дисперсия случайной
величины как аналог дисперсии числового набора.
Решать задачи на вычисление математического
ожидания и дисперсии дискретной случайной
величины по заданному распределению, в том числе
задач, связанных со страхованием и лотереями (с
направляющей помощью).
Знакомиться с математическим ожиданием и
дисперсией некоторых распределений, в том числе
распределения случайной величины «число успехов» в
серии испытаний Бернулли.
Изучать частоту события в повторяющихся случайных
опытах как случайную величину.

Обобщение,
контроль
(10 ч)

Представление
данных.
Описательная
статистика.
Вероятность
случайного
события.
Элементы
комбинаторики. Случайные величины и распределения.

Знакомиться с законом больших чисел (в форме
Бернулли): при большом числе опытов частота
события близка к его вероятности.
Решать задачи на измерение вероятностей с помощью
частот (с направляющей помощью).
Обсуждать роль закона больших чисел в обосновании
частотного метода измерения вероятностей.
Обсуждать закон больших чисел как проявление
статистической устойчивости в изменчивых явлениях,
роль закона больших чисел в природе и в жизни
человека.
Повторять изученное и выстраивать
систему
знаний.
Решать задачи на представление и описание данных.
Решать задачи на нахождение вероятностей событий,
в том числе в опытах с равновозможными
элементарными
событиями,
вероятностей
объединения и пересечения событий, вычислять
вероятности в опытах с сериями случайных испытаний

Тематическое планирование
Вероятность и статистика – 7 (2023-2024 год)
№

Тема урока
Гл. I

Кол-во
часов

Представление данных

Представление данных в таблицах.

Практические вычисления по табличным данным.

Извлечение и интерпретация табличных данных. Практическая
работа "Таблицы".
Графическое представление данных в виде круговых диаграмм.
Чтение и построение диаграмм.
Графическое представление данных в виде столбиковых
(столбчатых) диаграмм. Чтение и построение диаграмм.
Примеры демографических диаграмм.

Практическая работа "Диаграммы"

Описательная статистика

Числовые наборы.

Среднее арифметическое.

Медиана числового набора.

Устойчивость медианы.

Практическая работа «Средние значения».

Наибольшее и наименьшее значения числового набора.

Размах.

Контрольная работа №1
"Представление данных. Описательная статистика".

Случайная изменчивость

Анализ контрольной работы. Случайная изменчивость (примеры).

Частота значений в массиве данных.

Группировка данных. Гистограммы.

4
5

Гл. II

Гл. III

1
1
1

Графическое представление разных видов случайной изменчивости.

Построение гистограмм. Шаг гистограммы. Решение задач.

Практическая работа «Случайная изменчивость».

Введение в теорию графов.

Граф, вершина. Ребро. Представление задачи с помощью графа.

Степень (валентность) вершины. Число рёбер и суммарная степень
вершин.
Цепь и цикл. Путь в графе. Связность в графе. Обход графа
(эйлеров путь).
Представление об ориентированных графах. Решение задач с
помощью графов.
Вероятность и частота случайного события.

Случайный опыт и случайное событие.

Вероятность и частота события

Роль маловероятных и практически достоверных событий в
природе и в обществе
Монета и игральная кость в теории
вероятностей. Практическая работа "Частота выпадения орла."
Контрольная работа №2 «Случайная изменчивость. Случайные
события и вероятность».

Обобщение, контроль

4
1

Анализ контрольной работы.
Повторение по теме: «Представление данных».
Повторение по теме: «Описательная статистика».

Повторение по теме: «Вероятность случайного события».

Обобщение курса «Вероятность и статистика» 7 класса.

Гл.IV

24
25
Гл.V

29
30

1
1
5

1
1

ВСЕГО:

34 часа

Тематическое планирование
Вероятность и статистика – 8 (2023-2024 год)
№

Гл.

Кол-во
часов

Тема урока
Повторение

Представление данных. Описательная статистика

Случайная изменчивость. Средние числового набора

Случайные события. Вероятности и частоты

Классические модели теории вероятностей: монета и игральная
кость

Множества.

Множество, подмножество.

Операции над множествами: объединение, пересечение,
дополнение. Свойства операций над множествами:
Графическое представление множеств.

Контрольная работа №1 «Описательная статистика.
Рассеивание данных. Множества»

Вероятность случайного события.

Анализ контрольной работы. Элементарные события. Случайные
события. Благоприятствующие элементарные события
Вероятности событий

Опыты с равновозможными элементарными событиями.
Случайный выбор.
Практическая работа "Опыты с
равновозможными элементарными событиями"
Решение задач на вычисление вероятностей событий.

Решение задач на вычисление вероятностей событий.

Описательная статистика. Рассеивание данных.

Отклонения. Дисперсия числового набора.

Стандартное отклонение числового набора.

Гл. VII

7
8

Гл. VIII
9
10
11
12

Гл. IX

1
1

Диаграммы рассеивания.

Решение задач по теме: «Диаграммы рассеивания»

Деревья

4
1

Дерево. Свойства дерева: единственность пути, существование
висячей вершины, связь между числом вершин и числом рёбер.
Решение задач с помощью деревьев

Правило умножения.

Контрольная работа №2 "Множества. Вероятность случайного
события .Введение в теорию графов"

Раздел 6. Случайные события

8
1

Анализ контрольной
работы. Противоположные события. Диаграмма Эйлера.
Объединение и пересечение событий. Несовместные события

Формула сложения вероятностей.

Условная вероятность. Правило умножения вероятностей.

Независимые события.

Представление случайного эксперимента в виде дерева.

Решение задач на определение и использование независимых
событий.
Контрольная работа №3 "Вероятность случайного события"

Обобщение, контроль

Гл. X
19

Представление данных. Описательная статистика

Вероятность случайного события

Формула сложения вероятностей

Элементы комбинаторики

Тематическое планирование
Вероятность и статистика – 9 (2023-2024 год)
№

Гл.

Кол-во
часов

Тема урока

Представление данных.

Описательная статистика.

Операции над событиями.

Независимость событий.

Гл.
XIV

Элементы комбинаторики

Комбинаторное правило умножения

Перестановки. Факториал

Сочетания и число сочетаний. Треугольник Паскаля

Практическая работа «Вычисление вероятностей с
использованием комбинаторных функций электронных таблиц»

Гл.
XV

Геометрическая вероятность

Геометрическая вероятность.
Случайный выбор точки из фигуры на плоскости.

Случайный выбор точки из отрезка и дуги окружности

Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка, дуги
окружности и числового промежутка

Контрольная работа №1
«Элементы комбинаторики. Геометрическая вероятность»

Испытания Бернулли

Гл.
XVI

Испытание. Успех и неудача. Серия испытаний до первого успеха

Испытания Бернулли

Вероятности событий в серии испытаний Бернулли

Контрольная работа №2 «Испытания»

Случайная величина

Гл.
XVII

Случайная величина

Распределение вероятностей случайной величины

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Примеры математического ожидания как теоретического среднего
значения величины

Понятие о законе больших чисел и его применение

Измерение вероятностей с помощью частот

Обобщение, контроль

Представление данных

Описательная статистика

Вероятность случайного события

Элементы комбинаторики

Геометрическая вероятность

Испытания Бернулли

Случайные величины и распределения

Контрольная работа №3 «Случайная величина»

Решение задач

34 часа

ВСЕГО: